Fórmulas para la aplicación de tolerancias (página 2)

Figura 1.1

Figura 1.2

Una representación grafica de la figura
1.1 se muestra en la
figura 1.2 en donde todas las dimensiones L se muestran
encadenadas vectorialmente el espacio restante entre es el claro de tolerancia que se
obtiene con la acumulación de tolerancias. En este caso
llamado G.

Como se hacía referencia anteriormente
los valores
nominales de podrían variar de los valores de
y si hay mucha
variación en los valores de se podría tornar difícil el
llegar a G>0 en este caso seria prudente limitar las
variaciones mediante tolerancias.

Estas tolerancias llamadas representan el
"límite máximo" en la diferencia de los valores
nominales y los valores actuales de la parte en mención.
Por ejemplo

El valor
nominalγe G usualmente se encuentra al reemplazar en la
ecuación (1) el actual por el valor nominal correspondiente y así
tenemos

Si el objetivo es
conseguir un espacio G que sea positivo y no muy grande (por
razones de servicio) se
puede diseñar el ensamble de una manera que el valor
nominal deγcumpla con los requerimientos de esta manera la
resultante de G – γ es un valor de nuestro interés y
puede explicarse como

Donde es la diferencia entre el valor actual y el
valor requerido de variación.

Si tenemos:

Entonces

Hemos visto un ejemplo de seis partes en las
cuales una contribución positiva y las demás
tienden a tener contribuciones negativas, esto obviamente puede
ser generalizado a n número de partes con
contribuciones positivas y negativas en cualquier
número

Donde los coeficientes "a" pueden tener valores
de ±1.

APLICACIONES

FORMULAS PARA LA ACUMULACION DE TOLERANCIAS

En esta sección se presentaran algunas
formulas para la acumulación de tolerancias. Por
acumulación de tolerancias nos referimos a una regla que
combina las tolerancias de cada pieza en un total de las tolerancias de un
ensamblaje

Normalmente es una función
creciente de todos los existentes en este ensamble De esta manera si
el resultante de es
muy grande se puede solucionar reduciendo algunos de los
O en el caso de que
el resultante de sea demasiado pequeño se puede
solucionar dándole más holgura a el valor de
algún

Para que necesitamos más de una formula o
varias formulas para la acumulación de
toleranciasγLa respuesta a esta pregunta se da en el hecho
de que estos métodos se
encuentran evolucionando constantemente, la razón de ello
es en parte las mejoras en los costos de
producción y otra parte se debe a la naturaleza del
problema.

Con un buen conocimiento
de los procesos de
manufactura
uno puede aceptar varias suposiciones de ensamblaje,
quizás estas tengan tolerancias más reducidas o, al
contrario, sus tolerancias acepten rangos mayores en sus
valores.

Es muy importante estar consciente de las
consecuencias de las suposiciones que hagamos detrás de
los varios métodos a continuación se dará
una breve introducción a dos métodos de
acumulación de tolerancias:

• Worst case (peor caso) o Método
  Aritmético.

• Método Estadístico.

El Método
aritmético tiende a ser más conservador utilizando
técnicas que, aunque viejas, siguen siendo
útiles en la práctica, mientras que el
Método Estadístico se basa en estadísticas de diseño
siendo así un método más optimista.

WORST CASE (PEOR CASO) O MÉTODO
ARITMETICO

Suponiendo que para i=1,2,3…n podemos limitar la
ecuación G –γde tal manera tenemos:

Suponiendo que a=1 en todos los casos
esto se simplifica de manera que tenemos:

La validez de esto gira solamente respecto a la
suposición que hicimos del valor de a. De esta
manera, no importa que tanto se desvíen los valores de
dentro de la
restricción la diferencia G –γesta garantizada
de quedar dentro de los limites de

La principal debilidad de este método es
el hecho que crece
casi linealmente con respecto a n esto se nota
principalmente cuando todas las contribuciones de tolerancia de
la pieza de detale son iguales tenemos que por lo tanto:

Despejando

Lo cual nos dice como especificar tolerancias de
detalle desde las tolerancias de ensamble. El crecimiento lineal
de nos hace suponer
que la diferencia de G yγes la mas grande posible y esta es
la razón por la cual el nombre de este método
es.

MÉTODO
ESTADISTICO

Bajo este método de acumulación de
tolerancias un elemento nuevo muy importante es adherido al
estudio: este nuevo elemento o factor se refiere a el hecho que
las variaciones de las tolerancias de las piezas son al azar y a
su vez difieren de pieza en pieza de cierta manera este
método es una reacción a el Método
Aritmético que la gente considera conservador.

El Método Estadístico utiliza dos
formas de trabajar:

• Distribución normal centrada

• Variación del detalle
  independiente

DISTRIBUCION NORMAL CENTRADA

Antes que pensar que el valor puede estar en cualquier
parte del intervalo de tolerancias asumimos que el valor de puede variar entre cualquier
variables
normales al azar. Asumiendo que el 99.7 por ciento de las veces
tendremos valores dentro de este intervalo:

La naturaleza de la distribución normal es de que los valores
caerán con ms frecuencia cerca del valor de

VARIACION DEL DETALLE INDEPENDIENTE

La suposición independiente del detalle
probablemente es lo mas esencial en la acumulación de
tolerancias estadística, esta permite cancelar algunas
variaciones nominales.

Tratando los valores como valores variables, aquí
también se requiere que esos valores sean
estadísticamente independientes, Esto, a grandes rasgos,
significa que la desviación no tiene que ver nada con la desviación
y en este caso las
desviaciones no serán en su mayoría positivas o
negativas.

Bajo el efecto de independencia
en todos los valores mencionados se espera que haya una mezcla de
variaciones positivas y negativas de varios tamaños que
nos pudieren llevar a cancelación de tolerancias
nominales.

Normalmente la suposición independiente se
da cuando las piezas de un ensamblaje vienen de diferentes
procesos de manufactura o maquinado, aunque de igual manera se
puede adoptar este criterio cuando las suposiciones sean
cuestionables. Bajo las suposiciones de valores normales
centrales y valores independientes podemos deducir la siguiente
formula:

Normalmente el valor de difiere muy poco de para valores de n=3

CONCLUSIONES

La acumulación de tolerancias es un
proceso
conformado por varios métodos los cuales con la tecnología y estudios
más recientes sirven en cuestión de ingeniería de diseño y de procesos
para la mejora y obtención de resultados al momento de
diseño, fabricación, maquinado.

El utilizar la acumulación de tolerancias
permite a la empresa
ofrecer productos con
procesos reales de calidad los
cuales a su vez ayudan a reducir los costos de
procesos de creación de cualquier producto ya
que se reducen las piezas defectuosas (scrap) dándole
así a la empresa la
imagen de un
negocio responsable de con toda la seguridad
cubrirá todas las necesidades del cliente

GLOSARIO

BIBLIOGRAFIA

Referencias traducidas de:

• Altschul, R.E. and Scholz, F.W. (1994). "Case
  study in statistical

tolerancing." Manufacturing Review of the AMSE 7,
52-56.

• ASME Y14.5.1M-1994, Mathematical Definition
  of Dimensioning and Tolerancing Principles, The American
  Society of Mechanical Engineers

• Bates, E.L. (1949). "Specifying design
  tolerances." Machine Design, March.

• www.wikipedia.com

• Bender, A. Jr. (1962). "6 × 2.5= 9,
  Benderizing tolerances–a simple practical probability
  method of handling tolerances for limit-stack-ups." Graphic
  Science, 17-21.

• Scholz, F.W. (1995). "Tolerance stack
  analysis methods, a critical review." ISSTECH-95-021 Boeing
  Information & Support Services.

Autor:

Héctor Leonardo Pacheco Almanza

Catedrático: Ing. Pedro Zambrano

Instituto Tecnológico de Chihuahua

4 de mayo de 2009